Exercice 12, § 1

a) Soit $\sum_{i,j} c_{ij} x_i \bar{x}_j$, où $c_{ij} = \bar{c}_{ji}$, une forme hermitienne positive non dégénérée, $\Delta$ son déterminant; montrer que $\Delta \leq c_{11} c_{22} \ldots c_{nn}$ (exprimer $\Delta$ et les $c_{ii}$ à l’aide des valeurs propres de la forme hermitienne, et utiliser la prop. 2).

b) En déduire que, si $(a_{ij})$ est une matrice carrée d’ordre $n$ à éléments complexes quelconques, $\Delta$ son déterminant, on a (* inégalité de Hadamard *)

l’égalité n’ayant lieu que si un des facteurs du second membre est nul ou si on a, quels que soient les indices distincts $h,\ k$ (multiplier la matrice $(a_{ij})$ par la conjuguée de sa transposée).