Bài tập 12, § 1

a) Cho $\sum_{i,j} c_{ij} x_i \bar{x}_j$ với $c_{ji} = \bar{c}_{ij}$ là một dạng Hermit dương không suy biến, và $\Delta$ là định thức của nó; chứng minh rằng $\Delta \leq c_{11} c_{22} \ldots c_{nn}$ (biểu diễn $\Delta$ và $c_{ii}$ theo các giá trị riêng của dạng Hermit, và sử dụng Mệnh đề 2).

b) Suy ra rằng nếu $(a_{ij})$ là một ma trận bình phương cấp $n$ với các phần tử phức tùy ý và $\Delta$ là định thức của nó, thì ta có ("bất đẳng thức Hadamard")

với đẳng thức chỉ xảy ra nếu một trong các số hạng ở vế phải là không hoặc nếu, với mọi chỉ số phân biệt $h, k$ (nhân ma trận $(a_{ij})$ với liên hợp của ma trận chuyển vị của nó).