Exercice 21, § 1

Fonctions d’une variable réelle, III, p. 28

Soient $f$ et $g$ deux polynômes (à coefficients complexes) premiers entre eux, le degré de $f$ étant strictement inférieur à celui de $g$ . Soient $p$ le p.g.c.d. de $g$ et de sa dérivée $g'$ , $q$ le quotient de $g$ par $p$ ; montrer qu’il existe deux polynômes $u, v$ uniquement déterminés, de degrés respectifs strictement inférieurs à ceux de $p$ et $q$ , et tels que

\frac{f}{g} = D \left( \frac{u}{p} \right) + \frac{v}{q}

En déduire que les coefficients de $u$ et $v$ appartiennent au plus petit corps (sur $\mathbf{Q}$ ) contenant les coefficients de $f$ et $g$ et contenu dans $\mathbf{C}$ .

Solution

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