Exercice 26, § 1

a) Soit $F \subset M(\Delta)$ un corps différentiel, et soit $K$ une extension galoisienne finie de $F$, sous-corps d’un $M(\Delta_1)$. Soit $t$ une primitive ou une exponentielle de primitive d’une fonction de $F$; montrer que si $t$ est transcendant sur $F$, il n’existe aucune fonction $u \in K$ telle que $t' = u'$. (Considérer séparément les deux cas $t' = a \in F$ ou $t' = bt$ avec $b \in F$; obtenir une contradiction en considérant les transformés $\sigma.u$ de $u$ par le groupe de Galois de $K$ sur $F$ et leurs dérivées $\sigma.u'$; dans le premier cas, montrer que l’on aurait $t' \in c'$ pour un $c \in F$ et dans le second cas, en posant $N = [K:F], (t^N/c)' = 0$ pour un $c \in F$.) b) Supposons que $t$ soit transcendant sur $F$ et que $t' = bt$ avec $b \in F$; montrer qu’il n’existe aucun $c \neq 0$ dans $K$ tel que $(ct^m)' = 0$ (même méthode).*