Bài tập 26, § 1

a) Cho $F \subset M(\Delta)$ là một trường vi phân và cho $K$ là một mở rộng Galois hữu hạn của $F$, là một trường con của một $M(\Delta_1)$. Cho $t$ là một nguyên thủy hoặc là một hàm mũ của một nguyên thủy của một hàm của $F$; chứng minh rằng nếu $t$ là siêu việt trên $F$ thì không có hàm $u \in K$ nào sao cho $t' = u'$. (Xét riêng hai trường hợp trong đó $t' = a \in F$ hoặc $t' = bt$ với $b \in F$; thu được một mâu thuẫn bằng cách xét các biến đổi $\sigma.u$ của $u$ bởi nhóm Galois của $K$ trên $F$ và các đạo hàm của chúng $\sigma.u'$; trong trường hợp thứ nhất chứng minh rằng ta sẽ có $t' = c'$ với một $c \in F$, và trong trường hợp thứ hai, đặt $N = [K : F]$, ta sẽ có $(t^N/c)' = 0$ với một $c \in F_*$)

b) Giả sử rằng $t$ là siêu việt trên $F$ và rằng $t' = bt$ với $b \in F$; chứng minh rằng không tồn tại $c \neq 0$ nào trong $K$ sao cho $(ct^m)' = 0$ (cùng phương pháp).*