Exercice 3, § 1

a) Démontrer que pour $\alpha \geq 1$ et $x \geq 0$, $(1 + x)^{\alpha} \geq 1 + \alpha x$, et pour $0 \leq \alpha \leq 1$ et $x \geq 0$, $(1 + x)^{\alpha} \leq 1 + \alpha x$.

b) Démontrer que pour $0 \leq x \leq 1$ et $\alpha \geq 0$, on a $(1 - x)^{\alpha} \leq \frac{1}{1 + \alpha x}$.

c) Pour $0 \leq \alpha \leq 1$, montrer que pour $x \geq 0$ et $y \geq 0$, on a $x^{\alpha}y^{1-\alpha} \leq ax + by$ pour tous les couples de nombres $> 0$ tels que $a^{\alpha}b^{1-\alpha} = \alpha(1 - \alpha)^{1-\alpha}$.

d) Déduire de c) que si $f, g$ sont deux fonctions réglées $\geq 0$ dans un intervalle $I$ tel que les intégrales $\int_I f(t)\,dt$ et $\int_I g(t)\,dt$ soient convergentes, l’intégrale $\int_I (f(t))^{\alpha}(g(t))^{1-\alpha}\,dt$ est convergente et l’on a

En déduire l’inégalité de Hölder (dite « inégalité de Cauchy-Buniakowski-Schwarz » pour $\alpha = \frac{1}{2}$).