Bài tập 3, § 1

a) Chứng minh rằng $(1 + x)^\alpha \geq 1 + \alpha x$ với $\alpha \geq 1$ và $x \geq 0$, và rằng $(1 + x)^\alpha \leq 1 + \alpha x$ với $0 \leq \alpha \leq 1$ và $x \geq 0$.

b) Chứng minh rằng $(1 - x)^\alpha \leq \frac{1}{1 + \alpha x}$ với $0 \leq x \leq 1$ và $\alpha \geq 0$.

c) Với $0 \leq \alpha \leq 1$, chứng minh rằng với $x \geq 0$ và $y \geq 0$ ta có $x^\alpha y^{1-\alpha} \leq \alpha x + b y$ đối với mọi cặp số $> 0$ sao cho $a^\alpha b^{1-\alpha} = \alpha(1 - \alpha)^{1-\alpha}$.

d) Suy ra từ c) rằng nếu $f, g$ là hai hàm điều hòa $\geq 0$ trên một khoảng $I$ sao cho các tích phân $\int_I f(t)\,dt$ và $\int_I g(t)\,dt$ hội tụ, thì tích phân $\int_I (f(t))^\alpha (g(t))^{1-\alpha}\,dt$ hội tụ, và

Từ đó suy ra bất đẳng thức Hölder (được gọi là "bất đẳng thức Cauchy-Buniakowski-Schwarz" khi $\alpha = \frac{1}{2}$).