Exercice 38, § 1

Soit $\mathbf{f}$ une fonction vectorielle réglée pour $x \geqslant 0$, continue au point $x = 0$ et telle que l’intégrale $\int_a^{+\infty} f(x)\ dx/x$ soit convergente pour $a > 0$. Montrer que pour $a > 0$ et $b > 0$, l’intégrale $\int_0^{+\infty} \frac{f(ax) - f(bx)}{x}\ dx$ est convergente et égale à $\mathbf{f}(0) \log a/b$.