Exercice 8, § 1

On considère une suite d’ensembles $D_k$ ($k \geq 1$) et pour chaque $k$, deux fonctions $(x_1, \ldots, x_k) \mapsto f_k(x_1, \ldots, x_k), (x_1, \ldots, x_k) \mapsto g_k(x_1, \ldots, x_k)$ à valeurs réelles, où $(x_1, \ldots, x_k) \in D_1 \times D_2 \times \ldots \times D_k$. On suppose que pour tout $k$, il existe une fonction réelle $F_k$ définie dans $\mathbf{R}$ et telle que, pour tout $\mu \in \mathbf{R}$ et pour $a_1 \in D_1, \ldots, a_{k-1} \in D_{k-1}$ arbitraires, on ait

(On prend par convention $f_0 = 1$). Montrer que si les suites de nombres réels $(\mu_k)$ et $(\delta_k)$ vérifient les conditions $F_1(\mu_1) = 0$ et $F_k(\mu_k) = \delta_k$, on a les inégalités pour toutes les valeurs de $n$ et des $x_k \in D_k$.