Bài tập 8, § 1

Xét một dãy các tập hợp $D_k$ ($k \geq 1$) và với mỗi $k$ xét hai hàm $(x_1, \ldots, x_k) \mapsto f_k(x_1, \ldots, x_k),\ (x_1, \ldots, x_k) \mapsto g_k(x_1, \ldots, x_k)$ có các giá trị thực, trong đó $(x_1, \ldots, x_k) \in D_1 \times D_2 \times \cdots \times D_k$. Giả sử rằng với mọi $k$ tồn tại một hàm thực $F_k$ xác định trên $\mathbf{R}$ sao cho với mọi $\mu \in \mathbf{R}$ và tùy ý $a_1 \in D_1, \ldots, a_{k-1} \in D_{k-1}$ ta có

(Theo quy ước lấy $f_0 = 1$.) Chứng minh rằng nếu các dãy số thực $(\mu_k)$ và $(\delta_k)$ thỏa mãn các điều kiện $F_1(\mu_1) = 0$ và $F_k(\mu_k) = \delta_k$ thì ta có các bất đẳng thức với mọi giá trị của $n$ và của $x_k \in D_k$.