Exercice 1, § 1

a) Avec les notations de IV, p. 4, on suppose que $f$ est uniformément continue dans $J \times S$. Démontrer alors la prop. 3 de IV, p. 5, sans faire usage de l’axiome de choix. (Soit $\delta$ tel que les relations $|t_2 - t_1| \leq \delta, \|x_2 - x_1\| \leq \delta$ entraînent $\|f(t_2, x_2) - f(t_1, x_1)\| \leq \varepsilon$; considérer une subdivision de $J$ en intervalles de longueur $\leq \inf(\delta, \delta/M)$ et définir par récurrence la solution approchée.) b) Lorsque $E$ est de dimension finie, et que $f$ est lipschitzienne dans $I \times H$, démontrer la prop. 3 de IV, p. 5, sans faire usage de l’axiome de choix. (Remarquer que, pour tout $\delta > 0$, il existe un nombre fini de points $x_i$ de $S$ tels que tout point de $S$ soit à une distance $\leq \delta$ d’un des $x_i$; procéder ensuite comme dans a) en considérant les fonctions réglées $t \mapsto f(t, x_i)$, en nombre fini.)