Bài tập 1, § 1

a) Với ký hiệu của IV, p. 165, giả sử rằng $f$ là liên tục đều trên $J \times S$. Chứng minh Mệnh đề 3 của IV, p. 166 mà không sử dụng tiên đề lựa chọn. (Lấy $\delta$ sao cho các hệ thức $|t_2 - t_1| \leq \delta, \|x_2 - x_1\| \leq \delta$ kéo theo $\|f(t_2, x_2) - f(t_1, x_1)\| \leq \varepsilon$; xét một phép chia nhỏ của $J$ thành các khoảng có độ dài $\leq \inf(\delta, \delta/M)$ và định nghĩa nghiệm xấp xỉ bằng quy nạp.)

b) Khi $E$ là hữu hạn chiều và $f$ là Lipschitz trên $I \times H$, chứng minh Mệnh đề 3 của IV, p. 166 mà không sử dụng tiên đề lựa chọn. (Nhận xét rằng với mọi $\delta > 0$ tồn tại một số hữu hạn các điểm $x_i$ của $S$ sao cho mọi điểm của $S$ cách một trong các $x_i$ một khoảng $\leq \delta$; sau đó tiến hành như trong $a$), xét các hàm điều chỉnh $t \mapsto f(t, x_i)$, trong đó chỉ có một số hữu hạn.)