Exercice 13, § 1

a) Soit $I = (t_0, t_0 + \varepsilon)$, et soit $\omega$ une fonction numérique continue et $\geqslant 0$ définie dans $I \times \mathbf{R}$. Soit $S$ une boule de centre $x_0$ dans un espace normé complet $E$, et soit $f$ une application continue de $I \times S$ dans $E$ telle que, quels que soient $t \in I, x_1 \in S$ et $x_2 \in S$, on ait $\|f(t, x_1) - f(t, x_2)\| \leqslant \omega(t, \|x_1 - x_2\|)$. Soient $u$ et $v$ deux intégrales de $x' = f(t, x)$ définies dans $I$, à valeurs dans $S$, telles que $u(t_0) = x_1, v(t_0) = x_2$; soit $w$ l’intégrale maximale exerc. 10) de $z' = \omega(t, z)$ correspondant au point $(t_0, \|x_1 - x_2\|)$, et supposée définie dans $I$; montrer que, dans $I$, on a $\|u(t) - v(t)\| \leqslant w(t)$. (Soit $w(t, \varepsilon)$ l’intégrale maximale de $z' = \omega(t, z) + \varepsilon$ correspondant au point $(t_0, \|x_1 - x_2\|)$, où $\varepsilon > 0$ est assez petit. Montrer que $\|u(t) - v(t)\| \leqslant w(t, \varepsilon)$ pour tout $\varepsilon > 0$, en raisonnant par l’absurde.) b) Dans l’énoncé des hypothèses de a), on remplace $I$ par l’intervalle $I' = ]t_0 - \varepsilon, t_0[$. Montrer que, si $w$ est, dans cet intervalle, l’intégrale minimale de $z' = \omega(t, z)$ correspondant au point $(t_0, \|x_1 - x_2\|)$, on a, dans $I'$, $\|u(t) - v(t)\| \geqslant w(t)$ (même méthode).