Bài tập 13, § 1

a) Cho $I = [t_0, t_0 + c]$ và cho $\omega$ là một hàm thực liên tục, $\geq 0$, xác định trên $I \times \mathbf{R}$. Cho S là một quả cầu có tâm $x_0$ trong một không gian định chuẩn đầy đủ E, và cho f là một ánh xạ liên tục từ $I \times S$ vào E sao cho với mọi $t \in I$, $x_1 \in S$ và $x_2 \in S$ ta có $\|f(t, x_1) - f(t, x_2)\| \leq \omega(t, \|x_1 - x_2\|)$. Cho u và v là hai nguyên của $x' = f(t, x)$ xác định trên I, với các giá trị trong S, sao cho $u(t_0) = x_1,\ v(t_0) = x_2$; cho w là nguyên cực đại (bài tập 10) của $z' = \omega(t, z)$ tương ứng với điểm $(t_0, \|x_1 - x_2\|)$, giả sử được xác định trên I; hãy chứng minh rằng, trên I, ta có $\|u(t) - v(t)\| \leq w(t)$. (Cho $w(t, \varepsilon)$ là nguyên cực đại của $z' = \omega(t, z) + \varepsilon$ tương ứng với điểm $(t_0, \|x_1 - x_2\|)$, trong đó $\varepsilon > 0$ đủ nhỏ. Hãy chứng minh rằng $\|u(t) - v(t)\| \leq w(t, \varepsilon)$ với mọi $\varepsilon > 0$, bằng cách lập luận phản chứng.)

b) Trong phát biểu các giả thiết của a), thay I bởi khoảng $I' = ]t_0 - c, t_0]$. Hãy chứng minh rằng nếu w là nguyên cực tiểu trên khoảng này của $z' = \omega(t, z)$ tương ứng với điểm $(t_0, \|x_1 - x_2\|)$, thì $\|u(t) - v(t)\| \geq w(t)$ trên I' (cùng phương pháp).