Exercice 14, § 1

a) Soit $\omega(t, z)$ une fonction numérique continue et $\geqslant 0$ définie pour $0 < t \leqslant a$ et $z \geqslant 0$. On suppose que $z = 0$ soit la seule intégrale de $z' = \omega(t, z)$ définie pour $0 < t \leqslant a$ et telle que $\lim_{t \to 0^+} z(t) = 0$ et $\lim_{t \to 0^+} z(t)/t = 0$. Soient $I = (t_0, t_0 + a[$, $S$ une boule de centre $x_0$ dans $E$, $f$ une application continue de $I \times S$ dans $E$ telle que, quels que soient $t \in I, x_1 \in S$ et $x_2 \in S$, on ait $\|f(t, x_1) - f(t, x_2)\| \leqslant \omega(|t - t_0|, \|x_1 - x_2\|)$. Montrer que, dans un intervalle d’origine $t_0$ contenu dans $I$, l’équation $x' = f(t, x)$ ne peut avoir qu’une seule solution $u$ telle que $u(t_0) = x_0$. (Raisonner par l’absurde; si $v$ est une seconde intégrale de $x' = f(t, x)$, minorer $\|u(t) - v(t)\|$ dans un intervalle d’origine $t_0$, à l’aide de l’exerc. 13 b), et obtenir ainsi une contradiction.) Appliquer au cas où $\omega(t, z) = k(z/t)$ avec $0 \leqslant k < 1$ (cf. IV, p. 38, exerc. 8). b) Le résultat de a) s’applique pour $\omega(t, z) = z/t$; mais montrer dans ce cas par un exemple que si $u, v$ sont deux intégrales approchées à $\varepsilon$ près de $x' = f(t, x)$, égales à $x_0$ au point $t_0$, il n’est pas possible de majorer $\|u(t) - v(t)\|$ par un nombre ne dépendant que de $t$ (et non de la fonction $f$). (Prendre pour $f$ une application continue de $\mathbf{R}_+ \times \mathbf{R}$ dans $\mathbf{R}$, égale à $x/t$ pour $t \geqslant \alpha$ et pour $0 < t < \alpha$ et $|x| \leqslant t^2/(\alpha - t)$, et indépendante de $x$ pour les autres points $(t, x)$.) c) Soit $\theta$ une fonction numérique continue et $\geqslant 0$ dans l’intervalle $(0, a]$. Montrer que si l’intégrale $\int_0^a \frac{\theta(t)}{t} \, dt$ est convergente, le résultat de a) s’applique pour $\omega(t, z) = \frac{1 + \theta(t)}{t} z$; au contraire, si $\int_0^a \frac{\theta(t)}{t} \, dt$ est infini, donner un exemple de fonction continue $f$, telle que l’on ait $\|f(t, x_1) - f(t, x_2)\| \leqslant \frac{1 + \theta(|t - t_0|)}{|t - t_0|} \|x_1 - x_2\|$, mais telle que l’équation $x' = f(t, x)$ ait une infinité d’intégrales égales à $x_0$ au point $t_0$ (méthode analogue à celle de b)).