Bài tập 14, § 1

a) Cho $\omega(t, z)$ là một hàm thực liên tục, $\geq 0$, xác định với $0 < t \leq a$ và $z \geq 0$. Giả sử rằng $z = 0$ là nghiệm nguyên duy nhất của $z' = \omega(t, z)$ xác định với $0 < t \leq a$ và sao cho $\lim_{t \to 0} z(t) = 0$ và $\lim_{t \to 0} z(t)/t = 0$. Cho I = $[t_0, t_0 + a[$, cho S là một quả cầu có tâm $x_0$ trong E, và f là một ánh xạ từ $I \times S$ vào E, sao cho với mọi $t \in I$, $x_1 \in S$ và $x_2 \in S$ ta có $\|f(t, x_1) - f(t, x_2)\| \leq \omega(|t - t_0|, \|x_1 - x_2\|)$. Chứng minh rằng, trên một khoảng có đầu mút trái $t_0$ được chứa trong I, phương trình $x' = f(t, x)$ chỉ có thể có duy nhất một nghiệm u sao cho $u(t_0) = x_0$. (Lập luận bằng phản chứng: nếu v là một nghiệm nguyên thứ hai của $x' = f(t, x)$, hãy chặn $\|u(t) - v(t)\|$ từ dưới trên một khoảng có đầu mút trái $t_0$, với sự trợ giúp của bài tập 13 b), và do đó thu được một mâu thuẫn.)

Áp dụng cho trường hợp $\omega(t, z) = k(z/t)$ với $0 \leq k < 1$ (xem IV, p. 200, bài tập 8).

b) Kết quả của a) áp dụng cho $\omega(t, z) = z/t$; nhưng hãy chỉ ra bằng một ví dụ trong trường hợp này rằng nếu $\mathbf{u}, \mathbf{v}$ là hai nghiệm nguyên trong phạm vi sai số $\varepsilon$ của $x' = f(t, x)$, bằng $x_0$ tại điểm $t_0$, thì không thể chặn $\| \mathbf{u}(t) - \mathbf{v}(t) \|$ từ trên bởi một số chỉ phụ thuộc vào $t$ (chứ không phụ thuộc vào hàm f). (Lấy f là một ánh xạ liên tục từ $\mathbf{R}_+ \times \mathbf{R}$ vào $\mathbf{R}$, bằng $x/t$ với $t \geq \alpha$ và với $0 < t < \alpha$ và $|x| \leq t^2/(\alpha - t)$, và độc lập với x tại các điểm $(t, x)$ còn lại.)

c) Cho $\theta$ là một hàm thực liên tục, $\geq 0$ trên khoảng $[0, a]$. Chứng minh rằng nếu tích phân $\int_0^a \frac{\theta(t)}{t} \, dt$ hội tụ thì kết quả của a) áp dụng cho $\omega(t, z) = \frac{1 + \theta(t)}{t} z$; mặt khác, nếu $\int_0^a \frac{\theta(t)}{t} \, dt$ là vô hạn, hãy cho một ví dụ về một hàm liên tục f sao cho $\| f(t, x_1) - f(t, x_2) \| \leq \frac{1 + \theta(|t - t_0|)}{|t - t_0|} \| x_1 - x_2 \|$, nhưng sao cho phương trình $x' = f(t, x)$ có vô hạn nghiệm nguyên bằng $x_0$ tại điểm $t_0$ (phương pháp tương tự như phương pháp của $b$) ).