Exercice 4, § 1

Soient $I = ]t_0 - a, t_0 + a[$ un intervalle ouvert dans $\mathbf{R}$, $S$ une boule ouverte de centre $x_0$ et de rayon $r$ dans $E$, $f$ une fonction localement lipschitzienne dans $I \times S$. Soit $(s, z) \mapsto h(s, z)$ une fonction $\geq 0$ définie et continue pour $0 \leq s \leq a$ et $0 \leq z \leq r$, telle que, pour tout $s \in (0, a)$ l’application $z \mapsto h(s, z)$ soit croissante; on suppose que dans $I \times S$, on ait $\|f(t, x)\| \leq h(|t - t_0|, \|x - x_0\|)$. Soit $\varphi$ une primitive d’une fonction réglée dans un intervalle $(0, \alpha)$ (avec $\alpha < a$), à valeurs dans $(0, r]$, telle que $\varphi(0) = 0$ et $\varphi'(s) > h(s, \varphi(s))$ dans $(0, \alpha)$, sauf aux points d’un ensemble dénombrable. Montrer que l’intégrale $u$ de $x' = f(t, x)$, égale à $x_0$ au point $t_0$, est définie dans $]t_0 - a, t_0 + a[$, et que, dans cet intervalle, on a $\|u(t) - x_0\| \leq \varphi(|t - t_0|)$. b) Déduire de a) que, si $f$ est définie dans $I \times E$, et s’il existe une fonction $h$ définie, continue croissante et $> 0$ dans $(0, +\infty[$, telle que $\int_0^{+\infty} dz/h(z) = +\infty$ et que $\|f(t, x)\| \leq h(\|x\|)$, toute intégrale de $x' = f(t, x)$ est définie dans $I$ tout entier.