Bài tập 4, § 1

a) Cho $I = ]t_0 - a, t_0 + a[$ là một khoảng mở trong $\mathbf{R}$, cho $S$ là một quả cầu mở có tâm $x_0$ và bán kính $r$ trong $E$, và $f$ là một hàm Lipschitz địa phương trên $I \times S$. Cho $(s, z) \mapsto h(s, z)$ là một hàm $\geq 0$ được xác định và liên tục với $0 \leq s \leq a$ và $0 \leq z \leq r$, sao cho với mọi $s \in [0, a]$ ánh xạ $z \mapsto h(s, z)$ là tăng; giả sử rằng $\|f(t, x)\| \leq h(|t - t_0|, \|x - x_0\|)$ trên $I \times S$. Cho $\varphi$ là một nguyên thủy của một hàm điều chỉnh trên một khoảng $[0, \alpha]$ (với $\alpha < a$), nhận các giá trị trong $[0, r[$, sao cho $\varphi(0) = 0$ và $\varphi'(s) > h(s, \varphi(s))$ trên $[0, \alpha]$ ngoại trừ trên một tập hợp đếm được. Chứng minh rằng nguyên hàm $u$ của $x' = f(t, x)$, bằng $x_0$ tại điểm $t_0$, được xác định trên $]t_0 - \alpha, t_0 + \alpha[$, và rằng $\|u(t) - x_0\| \leq \varphi(|t - t_0|)$ trên khoảng này.

b) Suy ra từ a) rằng nếu $f$ được xác định trên $I \times E$, và tồn tại một hàm $h$ được xác định, liên tục, tăng và $> 0$ trên $[0, +\infty[$, sao cho $\int_0^{+\infty} dz/h(z) = +\infty$, và rằng $\|f(t, x)\| \leq h(\|x\|)$, thì mọi nguyên hàm của $x' = f(t, x)$ được xác định trên toàn bộ $I$.