Exercice 5, § 1

Soit $E$ l’espace normé complet formé des suites $x = (x_n)$ de nombres réels telles que $\lim_{n \to \infty} x_n = 0$, normé par $\|x\| = \sup_n |x_n|$. Pour tout entier $n \geq 0$, soit $e_n$ la suite dont tous les termes sont nuls, à l’exception du terme d’indice $n$, égal à 1 ; l’espace $E$ est somme directe du sous-espace $V_n$ de dimension 2 engendré par $e_n$ et $e_{n+1}$, et sous-espace fermé $W_n$ engendré par les $e_k$ d’indice $k$ distinct de $n$ et de $n + 1$. Soit $f_n$ une fonction continue et lipschitzienne dans $E$, à valeurs dans $E$, constante sur toute classe modulo $W_n$, égale à $e_{n+1} - e_n$ sur la droite joignant $e_n$ et $e_{n+1}$, et égale à 0 dans l’intersection de $V_n$ et de la boule $\|x\| \leq \frac{1}{n}$. D’autre part, pour tout entier $n > 0$, soit $\varphi_n$ une fonction numérique définie et continue dans l’intervalle $\left[ \frac{1}{n+1}, \frac{1}{n} \right]$, égale à 0 aux extrémités de cet intervalle, et telle que $\int_{1/(n+1)}^{1/n} \varphi_n(t)\,dt = 1$. Soit I l’intervalle $(0, 1)$ dans $\mathbf{R}$; on considère dans $I \times E$ la fonction $f$, à valeurs dans $E$, définie comme suit: $f(0, x) = 0$ quel que soit $x \in E$; pour $\frac{1}{n+1} \leq t \leq \frac{1}{n}$, $f(t, x) = \varphi_n(t)f_n(x)$. Montrer que $f$ est continue et localement lipschitzienne dans $I \times E$, mais qu’il existe une intégrale $u$ de l’équation $x' = f(t, x)$, définie et bornée dans $]0, 1[$, égale à $e_n$ pour $t = 1/n$, et par suite ne tendant vers aucune limite lorsque $t$ tend vers 0.