Bài tập 5, § 1

Cho $E$ là không gian định chuẩn đầy đủ của các dãy $x = (x_n)$ các số thực sao cho $\lim_{n \to \infty} x_n = 0$, được định chuẩn bởi $\|x\| = \sup_n |x_n|$. Với mỗi số nguyên $n \geq 0$ hãy cho $e_n$ là dãy mà mọi số hạng của nó đều bằng không, ngoại trừ số hạng có chỉ số $n$, bằng 1; không gian $E$ là tổng trực tiếp của không gian con $V_n$ có chiều 2 sinh bởi $e_n$ và $e_{n+1}$, và không gian con đóng $W_n$ sinh bởi các $e_k$ có chỉ số khác với $n$ và $n+1$. Cho $f_n$ là một hàm Lipschitz liên tục trên $E$, với các giá trị trong $E$, hằng trên mỗi lớp tương đương modulo $W_n$, bằng $e_{n+1} - e_n$ trên đường thẳng nối $e_n$ với $e_{n+1}$, và bằng 0 trên giao của $V_n$ và quả cầu $\|x\| \leq \frac{1}{4}$. Mặt khác, với mỗi số nguyên $n > 0$ hãy cho $\varphi_n$ là một hàm thực được xác định và liên tục trên khoảng $\left[ \frac{1}{n+1}, \frac{1}{n} \right]$, bằng 0 tại các đầu mút của khoảng này, và sao cho $\int_{1/(n+1)}^{1/n} \varphi_n(t) dt = 1$. Cho $I$ là khoảng $[0, 1]$ trong $\mathbf{R}$; xét trên $I \times E$ hàm $f$ với các giá trị trong $E$, được xác định như sau: $f(0, x) = 0$ với mọi $x \in E$; với $\frac{1}{n+1} \leq t \leq \frac{1}{n}$, cho $f(t, x) = \varphi_n(t)f_n(x)$. Chứng minh rằng $f$ là liên tục và Lipschitz địa phương trên $I \times E$, nhưng tồn tại một tích phân $u$ của phương trình $x' = f(t, x)$, được xác định và bị chặn trên $[0, 1]$, bằng $e_n$ với $t = 1/n$, và do đó không có giới hạn khi $t$ tiến tới 0.