Exercice 8, § 1

Soit $f$ une fonction définie dans $I \times H$, satisfaisant aux conditions du lemme 1 de IV, p. 3, et telle que, pour une constante $k$ telle que $0 < k < 1$, et pour un point $t_0 \in I$, on ait, quels que soient $t \in I$ et $x_1, x_2$ dans $H$

Montrer que, si $u$ et $v$ sont deux solutions approchées de l’équation $x' = f(t, x)$ à $e_1$ et $e_2$ près respectivement, définies dans $I$, à valeurs dans $H$ et prenant la même valeur au point $t_0$, on a, pour tout $t \in I$ En déduire que les th. 1 (IV, p. 10), 2 (IV, p. 11) sont encore valables pour l’équation $x' = f(t, x)$ dans les conditions indiquées.