Bài tập 8, § 1

Cho $f$ là một hàm xác định trên $I \times H$ thỏa mãn các điều kiện của bổ đề 1 của IV, p. 165, và sao cho với một hằng $k$ với $0 < k < 1$, và một điểm $t_0 \in I$, ta có, với mọi $t \in I$ và $x_1, x_2 \in H$,

Chứng minh rằng nếu $u$ và $v$ là hai nghiệm gần đúng của phương trình $x' = f(t, x)$, tương ứng trong phạm vi $\varepsilon_1$ và $\varepsilon_2$, xác định trên $I$, có các giá trị trong $H$, và có cùng giá trị tại điểm $t_0$, thì, với mọi $t \in I$,

Suy ra từ đó rằng định lý 1 (IV, p. 171) và 2 (IV, p. 172) vẫn đúng đối với phương trình $x' = f(t, x)$ dưới các điều kiện đã chỉ ra.