Exercice 1, § 2

Soient $E$ un espace normé complet sur $\mathbf{R}$, $F$ un espace topologique, $J$ un intervalle de $\mathbf{R}$ non réduit à un point; soit $(t, \xi) \mapsto A(t, \xi)$ une application de $J \times F$ dans $\mathscr{L}(E)$, telle que lorsque $\xi$ tend vers $\xi_0$, $A(t, \xi)$ tende uniformément vers $A(t, \xi_0)$ dans $J$. Si $C(t, t_0, \xi)$ est la résolvante de l’équation linéaire $dx/dt = A(t, \xi).x$, montrer que, pour tout intervalle compact $K \subset J$, $C(t, t_0, \xi)$ tend uniformément vers $C(t, t_0, \xi_0)$ dans $K \times K$, lorsque $\xi$ tend vers $\xi_0$.