Bài tập 1, § 2

Cho E là một không gian định chuẩn đầy đủ trên $\mathbf{R}$, F là một không gian tôpô, J là một khoảng của $\mathbf{R}$ không thu về một điểm duy nhất; cho $(t, \xi) \mapsto A(t, \xi)$ là một ánh xạ từ $J \times F$ vào $\mathscr{L}(E)$, sao cho khi $\xi$ tiến tới $\xi_0$, $A(t, \xi)$ hội tụ đều đến $A(t, \xi_0)$ trong J. Nếu $C(t, t_0, \xi)$ là hàm giải của phương trình tuyến tính $d\mathbf{x}/dt = A(t, \xi).\mathbf{x}$ hãy chứng minh rằng, với mọi khoảng compact $K \subset J$, $C(t, t_0, \xi)$ hội tụ đều đến $C(t, t_0, \xi_0)$ trên $K \times K$ khi $\xi$ tiến tới $\xi_0$.