Exercice 7, § 2

a) Soit $t \mapsto A(t)$ une application d’un intervalle $J \subset \mathbf{R}$ dans $\mathscr{L}(\mathbf{E})$, telle que, pour tout $x \in \mathbf{E}$, l’application $t \mapsto A(t).x$ de $J$ dans $\mathbf{E}$ soit continue. Montrer que, dans tout intervalle compact $K \subset J$, $t \mapsto \|A(t)\|$ est bornée (utiliser TG, IX, p. 56, th. 2). Dans ces conditions, montrer que, pour tout point $(t_0, x_0) \in J \times \mathbf{E}$, l’équation $dx/dt = A(t).x + b(t)$ admet une solution et une seule, définie dans $J$, et égale à $x_0$ au point $t_0$. En outre, si on désigne par $u(t, t_0, x_0)$ cette solution, l’application $x_0 \mapsto u(t, t_0, x_0)$ est une application linéaire bijective et bicontinue $C(t, t_0)$ de $\mathbf{E}$ sur lui-même, qui satisfait aux relations (6) (IV, p. 18) et (7) (IV, p. 19); de plus, l’application $(s, t) \mapsto C(s, t)$ de $J \times J$ dans $\mathscr{L}(\mathbf{E})$ est continue. b) On prend pour $\mathbf{E}$ l’espace des suites $x = (x_n)_{n \in \mathbf{N}}$ de nombres réels, telles que $\lim_{n \to \infty} x_n = 0$, muni de la norme $\|x\| = \sup_n |x_n|$, pour laquelle $\mathbf{E}$ est complet. Pour tout $t \in J = [0, 1]$, soit $A(t)$ l’application linéaire de $\mathbf{E}$ dans lui-même telle que

Montrer que $A(t)$ satisfait aux conditions de a), mais que l’application $t \mapsto A(t)$ de $J$ dans $\mathscr{L}(\mathbf{E})$ n’est pas continue au point $t = 0$, et que la résolvante $C(t, t_0)$ de l’équation $dx/dt = A(t).x$ est telle que l’application $t \mapsto C(t, t_0)$ de $J$ dans $\mathscr{L}(\mathbf{E})$ ne soit pas dérivable au point $t = 0$.