Bài tập 7, § 2

a) Cho $t \mapsto A(t)$ là một ánh xạ từ một khoảng $J \subset \mathbf{R}$ vào $\mathscr{L}(E)$, sao cho, với mọi $x \in E$, ánh xạ $t \mapsto A(t).x$ của $J$ vào $E$ là liên tục. Chứng minh rằng $t \mapsto \|A(t)\|$ là bị chặn trên mọi khoảng compact $K \subset J$ (dùng Gen. Top., IX, p. 194, th. 2). Với các điều kiện này, chứng minh rằng, với mọi điểm $(t_0, x_0) \in J \times E$ phương trình $d\mathbf{x}/dt = A(t).\mathbf{x} + \mathbf{b}(t)$ có một và chỉ một nghiệm xác định trên $J$ và bằng $\mathbf{x}_0$ tại điểm $t_0$. Hơn nữa, nếu ký hiệu nghiệm này là $\mathbf{u}(t, t_0, \mathbf{x}_0)$, ánh xạ $\mathbf{x}_0 \mapsto \mathbf{u}(t, t_0, \mathbf{x}_0)$ là một ánh xạ tuyến tính song ánh song liên tục $C(t, t_0)$ của $E$ lên chính nó, thỏa mãn các hệ thức (6) (IV, p. 179) và (7) (IV, p. 181); hơn nữa, ánh xạ $(s, t) \mapsto C(s, t)$ là liên tục từ $J \times J$ vào $\mathscr{L}(E)$.

b) Lấy $E$ là không gian các dãy $\mathbf{x} = (x_n)_{n \in \mathbf{N}}$ các số thực sao cho $\lim_{n \to \infty} x_n = 0$, được trang bị chuẩn $\|\mathbf{x}\| = \sup |x_n|$, theo đó $E$ là đầy đủ. Với mỗi $t \in J = [0, 1]$, cho $A(t)$ là ánh xạ tuyến tính của $E$ vào chính nó sao cho

Chứng minh rằng $A(t)$ thỏa mãn các điều kiện của a) nhưng ánh xạ $t \mapsto A(t)$ của $J$ vào $\mathscr{L}(E)$ không liên tục tại điểm $t = 0$, và rằng toán tử giải $C(t, t_0)$ của phương trình $d\mathbf{x}/dt = A(t).\mathbf{x}$ có tính chất là ánh xạ $t \mapsto C(t, t_0)$ của $J$ vào $\mathscr{L}(E)$ không khả vi tại điểm $t = 0$.