Exercice 9, § 2

Soient $y_k$ ($1 \leq k \leq n$) n fonctions numériques définies dans un intervalle $I \subset \mathbf{R}$ et admettant dans I une dérivée $(n-1)$-ème continue. a) Montrer que si les n fonctions $y_k$ sont linéairement dépendantes, la matrice $(y_k^{(p)}(t))_{0 \leq h < n-1, 1 \leq k \leq n}$ est de rang $< n$ en tout point $t \in I$. b) Inversement, si pour tout $t \in I$, la matrice $(y_k^{(p)}(t))$ est de rang $< n$, montrer que dans tout intervalle ouvert non vide $J \subset I$, il existe un intervalle ouvert non vide $U \subset J$ tel que les restrictions des $y_k$ à U soient linéairement dépendantes (si $p$ est le plus petit des nombres $q < n$ tels que les wronskiens de q quelconques des fonctions $y_k$ soient identiquement nuls dans J, considérer un point $a \in J$ où le wronskien de $p-1$ des fonctions $y_k$ n’est pas nul, et montrer que $p$ des fonctions $y_k$ sont intégrales d’une équation linéaire d’ordre $p-1$ dans un voisinage de $a$). c) On pose $y_1(t) = t^2$ pour $t \in \mathbf{R}$, $y_2(t) = t^2$ pour $t \geq 0$, $y_2(t) = -t^2$ pour $t < 0$; montrer que $y_1$ et $y_2$ admettent une dérivée continue dans $\mathbf{R}$ et que $y_1y_2' - y_2y_1' = 0$, mais que $y_1$ et $y_2$ ne sont pas linéairement dépendantes dans $\mathbf{R}$.