Bài tập 9, § 2

Cho $y_k$ ($1 \leq k \leq n$) là $n$ hàm thực xác định trên một khoảng $I \subset \mathbf{R}$ và có đạo hàm liên tục cấp $(n-1)$.

a) Chứng minh rằng nếu $n$ hàm $y_k$ phụ thuộc tuyến tính thì ma trận $(y_k^{(h)}(t))_{0 \leq h \leq n-1 \atop 1 \leq k \leq n}$ có hạng $< n$ tại mọi điểm $t \in I$.

b) Ngược lại, nếu với mọi $t \in I$ ma trận $(y_k^{(h)}(t))_{0 \leq h \leq n-1 \atop 1 \leq k \leq n}$ có hạng $< n$, chứng minh rằng trong mọi khoảng mở khác rỗng $J \subset I$ tồn tại một khoảng mở khác rỗng $U \subset J$ sao cho các hạn chế của các $y_k$ lên $U$ phụ thuộc tuyến tính (nếu $p$ là số nhỏ nhất trong các số $q < n$ sao cho các Wronski của bất kỳ $q$ hàm nào trong các hàm $y_k$ đều đồng nhất bằng không trên $J$, xét một điểm $a \in J$ tại đó Wronski của $p-1$ hàm trong các hàm $y_k$ không bằng không, và chứng minh rằng $p$ hàm trong các hàm $y_k$ là các tích phân của một phương trình tuyến tính cấp $p-1$ trên một lân cận của $a$).

c) Đặt $y_1(t) = t^2$ với $t \in \mathbf{R}$, $y_2(t) = t^2$ với $t \geq 0$, $y_2(t) = -t^2$ với $t < 0$; chứng minh rằng $y_1$ và $y_2$ có các đạo hàm liên tục trên $\mathbf{R}$ và rằng $y_1 y_2' - y_2 y_1' = 0$, nhưng rằng $y_1$ và $y_2$ không phụ thuộc tuyến tính trên $\mathbf{R}$.