Exercice 4, Annexe 0

Soit $\mathbf{R}$ un corps de Hardy tel que, pour toute fonction $f \in \mathbf{R}$ non équivalente à une constante, et d’ordre 0 par rapport à $l_{m-1}(x)$, il existe une constante $k$ et un entier rationnel $r$ tels que $f(x) \sim k(l_m(x))^r$.

a) Soit $z$ une fonction quelconque de $\mathbf{R}$, non identiquement nulle dans un voisinage de $+\infty$. Montrer que toute fonction $g$ du corps de Hardy $\mathbf{R}(\log|z|)$ non équivalente à une constante, et d’ordre 0 par rapport à $l_m(x)$, est équivalente à une fonction de la forme $k(l_{m+1}(x))^r$ ($k$ constante, $r$ entier rationnel). (Considérer d’abord le cas où $g$ est un polynôme de degré $p$ en $\log|z|$, à coefficients dans $\mathbf{R}$, et raisonner par récurrence sur $p$, en utilisant l’exerc. 3; si $g$ est une fonction rationnelle de $\log|z|$, à coefficients dans $\mathbf{R}$, raisonner par récurrence sur le degré du numérateur, en utilisant l’exerc. 3.)

b) Montrer que toute fonction de $\mathbf{R}(l_{m+1}(x))$ est équivalente à une fonction de la forme $f(x)(l_{m+1}(x))^r$, où $f \in \mathbf{R}$ et $r$ est un entier rationnel.

c) Soit $z$ une fonction quelconque de $\mathbf{R}$. Montrer que toute fonction $g$ du corps de Hardy $\mathbf{R}(e^z)$, d’ordre 0 par rapport à $l_m(x)$, est équivalente à une constante. (Considérer d’abord le cas où $g = u^q P(u)$, où $u = e^z$, $q$ est un entier rationnel, et $P(u)$ un polynôme en $u$, de degré $p$, à coefficients dans $\mathbf{R}$; raisonner alors par récurrence sur $p$, en utilisant a) et l’exerc. 3. Passer de là au cas général en utilisant l’exerc. 3.)

d) Etendre le résultat de a) au corps $\mathbf{R}(u_1, u_2, \ldots, u_s)$, où les $u_k$ sont de la forme $e^{z_k}$ ou $\log|z_k|$, les $z_k$ étant des fonctions de $\mathbf{R}$ non identiquement nulles dans un voisinage de $+\infty$ (raisonner par récurrence sur $s$).