Bài tập 4, Phụ lục 0

Cho $\mathscr{K}$ là một trường Hardy sao cho, đối với mọi hàm $f \in \mathscr{K}$ không tương đương với một hằng và có cấp 0 đối với $l_{m-1}(x)$, tồn tại một hằng $k$ và một số nguyên hữu tỉ $r$ sao cho $f(x) \sim k(l_m(x))^r$.

a) Cho $z$ là một hàm bất kỳ trong $\mathscr{K}$, không đồng nhất bằng không trên một lân cận của $+\infty$. Chứng minh rằng mọi hàm $g$ trong trường Hardy $\mathscr{K}(\log |z|)$ không tương đương với một hằng và có cấp 0 đối với $l_m(x)$, đều tương đương với một hàm có dạng $k(l_{m+1}(x))^r$ ($k$ hằng, $r$ là một số nguyên hữu tỉ). (Trước hết xét trường hợp $g$ là một đa thức bậc $p$ theo $\log |z|$, với các hệ số trong $\mathscr{K}$, và lập luận bằng quy nạp theo $p$, sử dụng Bài tập 3; nếu $g$ là một hàm hữu tỉ theo $\log |z|$, với các hệ số trong $\mathscr{K}$, lập luận bằng quy nạp theo bậc của tử số, sử dụng Bài tập 3.)

b) Chứng minh rằng mọi hàm trong $\mathscr{K}(l_{m+1}(x))$ đều tương đương với một hàm có dạng $f(x)(l_{m+1}(x))^r$ trong đó $f \in \mathscr{K}$ và $r$ là một số nguyên hữu tỉ.

c) Cho $z$ là một hàm bất kỳ trong $\mathscr{K}$. Chứng minh rằng mọi hàm $g$ của trường Hardy $\mathscr{K}(e^z)$ có cấp 0 đối với $l_m(x)$ đều tương đương với một hằng. (Trước hết xét trường hợp $g = u^q P(u)$, trong đó $u = e^z$, $q$ là một số nguyên hữu tỉ, và $P(u)$ là một đa thức theo $u$, có bậc $p$, với các hệ số trong $\mathscr{K}$; sau đó lập luận bằng quy nạp theo $p$, sử dụng a) và Bài tập 3. Từ đó chuyển sang trường hợp tổng quát bằng cách sử dụng Bài tập 3.)

d) Mở rộng kết quả của a) đến trường $\mathscr{K}(u_1, u_2, \ldots, u_s)$, trong đó các $u_k$ có dạng $e^{z_k}$ hoặc $\log |z_k|$, các $z_k$ là các hàm trong $\mathscr{K}$ không đồng nhất bằng không trên một lân cận của $+\infty$ (lập luận bằng quy nạp theo $s$).