Exercice 8, Annexe 0

a) Soit $(f_n)$ une suite de fonctions continues croissantes appartenant à $\mathscr{H}(\mathbf{R}, \mathbf{R})$ et telles que $f_n \ll f_{n+1}$ pour tout $n$. Montrer qu’il existe une fonction $f$ continue, croissante, appartenant à $\mathscr{H}(\mathbf{R}, \mathbf{R})$ et telle que $f \gg f_n$ pour tout $n$ (se ramener au cas où $f_n \leq f_{n+1}$ et définir $f$ de sorte que $f_n(x) \leq f(x) \leq f_{n+1}(x)$ pour $n \leq x \leq n+1$).

b) Soit $(f_n)$ une suite de fonctions continues croissantes appartenant à $\mathscr{H}(\mathbf{R}, \mathbf{R})$, et telles que $1 \ll f_{n+1} \ll f_n$ pour tout $n$. Montrer qu’il existe une fonction $f$ continue, croissante et appartenant à $\mathscr{H}(\mathbf{R}, \mathbf{R})$, telle que $1 \ll f \ll f_n$ pour tout $n$ (en se ramenant au cas où $f_{n+1} \leq f_n$, montrer qu’on peut définir une suite croissante $(x_n)$ de nombres réels et une fonction continue et croissante $f$ telle que $f_{n+1}(x) \leq f(x) \leq f_n(x)$ pour $x_n \leq x \leq x_{n+1}$).

c) Soient $(f_n)$, $(g_n)$ deux suites de fonctions continues croissantes appartenant à $\mathscr{H}(\mathbf{R}, \mathbf{R})$, telles que $f_n \ll f_{n+1}$, $g_m \gg g_{m+1}$ et $f_n \ll g_m$ quels que soient $m$ et $n$; montrer qu’il existe une fonction $h$ continue, croissante, appartenant à $\mathscr{H}(\mathbf{R}, \mathbf{R})$, telle que $f_n \ll h \ll g_m$, quels que soient $m$ et $n$ (méthode analogue).

En particulier, montrer qu’il existe une fonction continue et décroissante $f$, appartenant à $\mathscr{H}(\mathbf{R}, \mathbf{R})$ et telle qu’aucun critère logarithmique ne permette de déterminer si l’intégrale $\int_a^{+\infty} f(t)\,dt$ est convergente ou infinie (* théorèmes de Du Bois-Reymond *).