Bài tập 8, Phụ lục 0

a) Cho $(f_n)$ là một dãy các hàm tăng liên tục thuộc $\mathscr{H}(\mathfrak{F}, \mathbf{R})$ và sao cho $f_n \ll f_{n+1}$ với mọi $n$. Chứng minh rằng tồn tại một hàm $f$ liên tục, tăng, thuộc $\mathscr{H}(\mathfrak{F}, \mathbf{R})$, và sao cho $f \gg f_n$ với mọi $n$ (rút gọn về trường hợp $f_n \leq f_{n+1}$ và định nghĩa $f$ sao cho $f_n(x) \leq f(x) \leq f_{n+1}(x)$ với $n \leq x \leq n+1$).

b) Cho $(f_n)$ là một dãy các hàm tăng liên tục thuộc $\mathscr{H}(\mathfrak{F}, \mathbf{R})$ và sao cho $1 \ll f_{n+1} \ll f_n$ với mọi $n$. Chứng minh rằng tồn tại một hàm $f$ liên tục, tăng, thuộc $\mathscr{H}(\mathfrak{F}, \mathbf{R})$, và sao cho $1 \ll f \ll f_n$ với mọi $n$ (rút gọn về trường hợp $f_{n+1} \leq f_n$ và chứng minh rằng người ta có thể định nghĩa một dãy tăng $(x_n)$ các số thực và một hàm tăng liên tục $f$ sao cho $f_{n+1}(x) \leq f(x) \leq f_n(x)$ với $x_n \leq x \leq x_{n+1}$).

c) Cho $(f_n), (g_n)$ là hai dãy các hàm tăng liên tục thuộc $\mathscr{H}(\mathfrak{F}, \mathbf{R})$ sao cho $f_n \ll f_{n+1}, g_m \gg g_{m+1}$ và $f_n \ll g_m$ với mọi $m$ và $n$; chứng minh rằng tồn tại một hàm $h$, liên tục, tăng, thuộc $\mathscr{H}(\mathfrak{F}, \mathbf{R})$, sao cho $f_n \ll h \ll g_m$ với mọi $m$ và $n$ (phương pháp tương tự).

Đặc biệt, chứng minh rằng tồn tại một hàm giảm liên tục $f$ trong $\mathscr{H}(\mathfrak{F}, \mathbf{R})$ sao cho không một tiêu chuẩn logarit nào cho phép xác định liệu tích phân $\int_a^{+\infty} f(t)\,dt$ hội tụ hay là vô hạn ("*các định lý Du Bois-Reymond*").