Exercice 2, § 1

Soit $\varphi$ une fonction strictement positive, définie et croissante pour $x > 0$ et telle que $\varphi \gg 1$. a) Montrer que si la fonction $\log \varphi(x)/\log x$ est croissante, la relation $f \ll g$ entre fonctions $>0$ entraîne $\varphi \circ f \ll \varphi \circ g$ si $g \gg 1$. b) Donner un exemple où $\log \varphi(x)/\log x$ est décroissante, $f$ et $g$ sont deux fonctions $>0$ telles que $g \gg 1$ et $f \sim g$, mais $\varphi \circ f$ n’est pas équivalente à $\varphi \circ g$.