Exercice 8, § 4

a) Soit $(z_n)$ une suite de nombres complexes. Montrer que si les séries de terme général $z_n, z_n^2, \ldots, z_n^{q-1}, |z_n|^q$ sont convergentes, le produit infini de facteur général $1 + z_n$ est convergent. b) Si $z_n$ est réel et si la série de terme général $z_n$ est convergente, le produit infini de facteur général $1 + z_n$ est convergent si la série de terme général $z_n^2$ est convergente, et on a

c) Pour tout entier $p$, on pose On définit de la façon suivante la suite $(z_n)$ de nombres complexes: pour $n = h_p + m,\ 0 \leq m \leq k_p - 1$, on pose $z_n = e^{m i \omega_p}/\log p$. Montrer que pour tout entier $q > 0$, la série de terme général $z_n^q$ est convergente, mais que le produit de facteur général $1 + z_n$ n’est pas convergent.