Bài tập 8, § 4

(a) Cho $(z_n)$ là một dãy các số phức. Bây giờ chứng minh rằng nếu các chuỗi có số hạng tổng quát $z_n, z_n^2, \ldots, z_n^{q-1}, |z_n|^q$ là hội tụ, thì tích vô hạn có nhân tử tổng quát $1 + z_n$ là hội tụ. (b) Nếu $z_n$ là thực và nếu chuỗi có số hạng tổng quát $z_n$ là hội tụ, thì tích vô hạn có nhân tử tổng quát $1 + z_n$ là hội tụ nếu chuỗi có số hạng tổng quát $z_n^2$ là hội tụ, và ta có

(c) Với mỗi số nguyên $p$, đặt Dãy $(z_n)$ các số phức được xác định như sau: với $n = h_p + m,\ 0 \leq m \leq k_p - 1$, đặt $z_n = e^{m i \omega_p}/\log p$. Bây giờ chứng minh rằng với mọi số nguyên $q > 0$, chuỗi có số hạng tổng quát $z_n^q$ là hội tụ, nhưng tích có nhân tử tổng quát $1 + z_n$ là không hội tụ.