Exercice 9, § 4

a) Démontrer, à l’aide de la formule de Stirling, que le maximum de la fonction

dans l’intervalle $[0, +\infty[$, tend vers 0 avec $1/n$. b) En déduire, par récurrence sur l’entier $p$, que pour tout $\varepsilon > 0$, il existe un polynôme $g(x)$ tel que $|e^{-px} - e^{-x}g(x)| \leq \varepsilon$ pour tout $x \geq 0$ (remplacer $x$ par $px/2$ dans $a$), et utiliser l’hypothèse de récurrence appliquée à $e^{-(p-1)x/2}$.