Exercice 11, § 2

a) Soit $p$ un nombre premier $\neq 2$. Alors les propriétés suivantes sont équivalentes: α) $b_n/n \not\equiv 0 \pmod{p}$ pour tout $n$ pair tel que $p - 1$ ne divise pas $n$. β) $b_n \not\equiv 0 \pmod{p}$ pour $n = 2, 4, 6, \ldots, p - 3$. (Utiliser l’exerc. 9b.) b) On dit que $p$ est un nombre premier régulier s’il est égal à 2 ou vérifie les conditions équivalentes de a); sinon $p$ est dit irrégulier. Les nombres premiers 2, 3, 5, 7, 11 sont réguliers; 691 est irrégulier. Soit $I$ un ensemble fini de nombres premiers irréguliers. Soit $n$ un entier $\geq 2$ multiple de $\prod_{q \in I} (q - 1)$ et tel que $|b_n/n| > 1$, (cf. VI, p. 19, formule (15)). Soit $p$ un facteur premier du numérateur de $|b_n/n|$ mis sous forme irréductible. Montrer que $p - 1$ ne divise pas $n$ et par suite que $p$ est irrégulier. En déduire que l’ensemble des nombres premiers irréguliers est infini.