Exercice 5, § 2

Si l’on pose $S_n(x) = \frac{1}{n+1} (B_{n+1}(x) - B_{n+1}(0))$, on a, pour tout entier $a > 0$

a) Montrer que pour tout entier $n \geq 0$ et tout entier $a > 0$, on a $2S_{2n+1}(a) \equiv 0$ (mod. $a$) (considérer la somme $k^{2n+1} + (a-k)^{2n+1}$).

b) Si $r$ et $s$ sont deux entiers $0$ quelconques, montrer que

c) Soit $p$ un nombre premier. Montrer que si $n$ est divisible par $p - 1$, on a $S_n(p) \equiv -1 \pmod{p}$, et si $n$ n’est pas divisible par $p - 1$, $S_n(p) \equiv 0 \pmod{p}$ (si $p$ ne divise pas l’entier $g$, remarquer que $S_n(p) \equiv g^n S_n(p) \pmod{p}$).