Bài tập 5, § 2

Nếu đặt $S_n(x) = \frac{1}{n+1} (B_{n+1}(x) - B_{n+1}(0))$, ta có, với mọi số nguyên $a > 0$

a) Bây giờ chứng minh rằng với mọi số nguyên $n \geq 0$ và mọi số nguyên $a > 0$, ta có $2S_{2n+1}(a) \equiv 0$ (mod. $a$) (xét tổng $k^{2n+1} + (a-k)^{2n+1}$).

b) Nếu $r$ và $s$ là hai số nguyên bất kỳ $0$, chứng minh rằng

c) Cho $p$ là một số nguyên tố. Chứng minh rằng nếu $n$ chia hết cho $p - 1$, thì ta có $S_n(p) \equiv -1 \pmod{p}$, và nếu $n$ không chia hết cho $p - 1$, thì $S_n(p) \equiv 0 \pmod{p}$ (nếu $p$ không chia hết số nguyên $g$, chú ý rằng $S_n(p) \equiv g^n S_n(p) \pmod{p}$).