Exercice 6, § 3

On suppose que K est un corps. Soient g une K-algèbre de Lie, $x \to x_M$ une représentation de g de dimension finie, $(e_1, \ldots, e_n)$ une base de M, et $(e_1^*, \ldots, e_n^*)$ la base duale.

a) Si f est une forme linéaire sur $\bigotimes^r M$, on a :

b) Soit $\beta$ une forme bilinéaire non dégénérée sur M, invariante pour g. Soit $(e_1', \ldots, e_n')$ la base de M telle que $\beta(e_i, e_j') = \delta_{ij}$. Soit f une forme linéaire invariante sur $\bigotimes^r M$. Déduire de a) que

est un élément invariant de $\bigotimes^r M$ indépendant du choix de la base $(e_i)$.

c) Soit U l’algèbre enveloppante de g, $U^*$ l’espace dual de l’espace U. La représentation adjointe de g se prolonge en une représentation $x \to x_U$ de g dans U définie par $x_u u = xu - ux$ pour tout $u \in U$. Donc $U^*$ est muni d’une structure de g-module. Pour qu’un élément f de $U^*$ soit invariant, il faut et il suffit que $f(uv) = f(vu)$ quels que soient $u, v$ dans U.

d) Soient $\mathfrak{h}$ un idéal de g de dimension finie, $\gamma$ une forme bilinéaire invariante sur g, dont la restriction à $\mathfrak{h}$ soit non dégénérée. Soient $(y_i)_{1 \leq i \leq n}, (y_j')_{1 \leq j \leq n}$ deux bases de $\mathfrak{h}$ telles que $\gamma(y_i, y_j') = \delta_{ij}$. Soit r un entier $\geqslant 1$. Soit $f$ une forme linéaire sur U telle que $f(uv) = f(vu)$ quels que soient $u, v$ dans U. Déduire de b) et c) que

est un élément du centre de U indépendant du choix de la base $(y_i)$. Retrouver en particulier les éléments de Casimir.

e) Soit $\theta$ une permutation de $\{1, \ldots, r\}$. Raisonnant de manière analogue, montrer que

est un élément du centre de U indépendant du choix de la base $(y_i)$.