Bài tập 6, § 3

Giả sử rằng K là một trường. Cho $g$ là một đại số Lie trên K, $x \mapsto x_M$ là một biểu diễn hữu hạn chiều của $g$, $(e_1, \ldots, e_n)$ là một cơ sở của M và $(e_1^*, \ldots, e_n^*)$ là cơ sở đối ngẫu.

(a) Nếu $f$ là một dạng tuyến tính trên $\bigotimes^r M$, thì:

(b) Cho $\beta$ là một dạng song tuyến tính không suy biến trên M bất biến đối với $g$. Cho $(e'_1, \ldots, e'_n)$ là cơ sở của M sao cho $\beta(e_i, e_j') = \delta_{ij}$. Cho $f$ là một dạng tuyến tính bất biến trên $\bigotimes^r M$. Suy ra từ (a) rằng

là một phần tử bất biến của $\bigotimes^r M$ độc lập với lựa chọn cơ sở $(e_i)$.

(c) Cho U là đại số bao phủ của $g$ và $U^*$ là không gian đối ngẫu của U. Biểu diễn phụ hợp của $g$ có thể được mở rộng thành một biểu diễn $x \mapsto x_U$ của $g$ trên U được xác định bởi $x_U u = xu - ux$ với mọi $u \in U$. Do đó $U^*$ có một cấu trúc môđun-$g$. Để một phần tử $f$ của $U^*$ là bất biến, điều kiện cần và đủ là $f(uv) = f(vu)$ với mọi $u, v$ trong U.

(d) Cho $h$ là một iđêan hữu hạn chiều của $g$ và $\gamma$ là một dạng song tuyến tính bất biến trên $g$ mà hạn chế của nó lên $h$ là không suy biến. Cho $(y_i)_{1 \leq i \leq n}, (y'_j)_{1 \leq j \leq n}$ là hai cơ sở của $h$ sao cho $\gamma(y_i, y'_j) = \delta_{ij}$. Cho r là một số nguyên $\geq 1$. Cho $f$ là một dạng tuyến tính trên U sao cho $f(uv) = f(vu)$ với mọi $u, v$ trong U. Suy ra từ (b) và (c) rằng

là một phần tử của tâm của U độc lập với lựa chọn cơ sở $(y_i)$. Đặc biệt, khôi phục các phần tử Casimir.

(e) Cho $\theta$ là một phép hoán vị của $\{1, \ldots, r\}$. Lập luận tương tự, chứng minh rằng

là một phần tử của tâm của U độc lập với lựa chọn cơ sở $(y_i)$.