Exercice 5, § 4

a) Montrer qu’une algèbre de Lie g dans laquelle toute sous-algèbre est sous-invariante est nilpotente. (Montrer que, si dim $g > 1$, tout $x \in g$ appartient à un idéal $h \neq g$ de g, qui possède la même propriété que g, donc est nilpotent par récurrence sur la dimension de g ; donc $\mathrm{ad}_g x$ est nilpotent.)

b) Montrer que si, dans une algèbre de Lie g, toute sous-algèbre distincte de g est distincte de son normalisateur, g est nilpotente. (Se ramener à a).)