Exercice 16, § 6

Soit $g$ une sous-algèbre de $\mathrm{gl}(n, K)$ telle que la représentation identique de $g$ soit semi-simple. Montrer que toute matrice nilpotente $X \in g$ est contenue dans une sous-algèbre de Lie simple de $g$ de dimension 3. (Montrer que $g$ est réductive dans $\mathrm{gl}(n, K)$; utiliser ensuite les exerc. 14 et 15 c.).