Exercice 3, § 7

Soient g une algèbre de Lie, U son algèbre enveloppante.

a) Montrer que, pour tout $u \in U$ ($u \neq 0$), il existe une représentation de dimension finie $\pi$ de U telle que $\pi(u) \neq 0$. (Utiliser l’exerc. 2, et l’exerc. 5 b) du § 3).

b) Déduire de a) que, si g est semi-simple, il existe une infinité de représentations simples de dimension finie de g deux à deux inéquivalentes. (Soient $\rho_1, \ldots, \rho_n$ des représentations simples de dimension finie de g, $N_1, \ldots, N_n$ les annulateurs des U-modules correspondants, $N = \bigcap_{i=1}^n N_i$. Montrer que N est de codimension finie dans U. Soit $n \in N, \ n \neq 0$. Appliquer a) à n.)