Bài tập 3, § 7

Cho $g$ là một đại số Lie và $U$ là đại số bao của nó.

(a) Chứng minh rằng với mọi $u \in U$ ($u \neq 0$) tồn tại một biểu diễn hữu hạn chiều $\pi$ của $U$ sao cho $\pi(u) \neq 0$. (Dùng Bài tập 2 và Bài tập 5 (b) của § 3.)

(b) Suy ra từ (a) rằng nếu $g$ là nửa đơn thì tồn tại vô số biểu diễn đơn hữu hạn chiều đôi một không tương đương của $g$. (Cho $\rho_1, \ldots, \rho_n$ là các biểu diễn đơn hữu hạn chiều của $g$, $N_1, \ldots, N_n$ là các bộ tiêu diệt của các U-môđun tương ứng và $N = \bigcap_{i=1}^n N_i$. Chứng minh rằng $N$ có đối chiều hữu hạn trong U. Cho $n \in \mathbf{N}$, $n \neq 0$. Áp dụng (a) cho $n$.)