Exercice 5, § 7

Soient K un corps de caractéristique $p > 0$, g une algèbre de Lie de dimension finie n sur K, U l’algèbre enveloppante de g.

a) On appelle $p$-polynôme (à une indéterminée) sur K tout polynôme de $K[X]$ dont les seuls termes $\neq 0$ ont un degré qui est une puissance de $p$. Montrer que, pour tout polynôme $f(X) \neq 0$ de $K[X]$, il existe $g(X) \in K[X]$ tel que $f(X)g(X)$ soit un $p$-polynôme (considérer les restes des divisions euclidiennes des $X^{p^k}$ par $f(X)$).

b) Montrer que, pour tout élément $z \in g$, il existe un polynôme non nul $f(X) \in K[X]$ tel que $f(z)$ appartienne au centre C de U. (Considérer le polynôme minimal de l’endomorphisme ad $z$, et appliquer a) à ce polynôme, ainsi que la formule (1) de l’exerc. 19 du § 1.)

c) Soit $(e_i)_{1 \leq i \leq n}$ une base de g. Pour chaque $i$, soit $f_i \neq 0$ un polynôme de $K[X]$ tel que $f_i(e_i) \in C$; soit $d_i$ son degré, et soit L l’idéal bilatère de U engendré par les $y_i = f_i(e_i)$. Montrer que les classes mod. L des éléments $e_1^{x_1} \ldots e_n^{x_n}$, où $0 \leq x_i < d_i$ forment une base de $U/L$.

d) Montrer que g admet une représentation linéaire fidèle de dimension finie (choisir les $f_i$ de sorte que $d_i > 1$ pour tout $i$).

e) Montrer que, si $g \neq \{0\}$, il existe une représentation linéaire de dimension finie de g non semi-simple. (Supposant les $f_i$ de degrés $d_i > 1$, remplacer les $f_i$ par $f_i^2$ dans la définition de L, et remarquer qu’il existe alors des éléments nilpotents $\neq 0$ dans le centre de $U/L$, donc que $U/L$ n’est pas semi-simple.)