Bài tập 5, § 7

Cho K là một trường có đặc số $p > 0$, $g$ là một đại số Lie có số chiều hữu hạn $n$ trên K và U là đại số bao quanh của $g$.

(a) Một đa thức p (với một ẩn) trên K là một đa thức trong $K[X]$ mà các hạng tử duy nhất $\neq 0$ của nó có bậc là một lũy thừa của $p$. Chứng minh rằng với mọi đa thức $f(X) \neq 0$ trong $K[X]$ tồn tại $g(X) \in K[X]$ sao cho $f(X)g(X)$ là một đa thức p (xét các phần dư trong phép chia Euclid của các $X^{p^k}$ cho $f(X)$).

(b) Chứng minh rằng với mọi phần tử $z \in g$ tồn tại một đa thức khác không $f(X) \in K[X]$ sao cho $f(z)$ thuộc tâm C của U. (Xét đa thức tối tiểu của tự đồng cấu $\operatorname{ad} z$ và áp dụng (a) cho đa thức này, đồng thời dùng công thức (1) của Bài tập 19 của § 1.)

(c) Cho $(e_i)_{1 \leq i \leq n}$ là một cơ sở của $g$. Với mỗi $i$ cho $f_i \neq 0$ là một đa thức trong $K[X]$ sao cho $f_i(e_i) \in C$; cho $d_i$ là bậc của nó và L là iđêan hai phía của U sinh bởi các $y_i = f_i(e_i)$. Chứng minh rằng các lớp mod. L của các phần tử $e_1^{\alpha_1} \ldots e_n^{\alpha_n}$, với $0 \leq \alpha_i < d_i$ tạo thành một cơ sở của $U/L$.

(d) Chứng minh rằng $g$ có một biểu diễn tuyến tính trung thành hữu hạn chiều (chọn các $f_i$ sao cho $d_i > 1$ với mọi $i$).

(e) Chứng minh rằng nếu $g \neq \{0\}$ thì tồn tại một biểu diễn tuyến tính hữu hạn chiều không nửa đơn của $g$. (Giả sử rằng các $f_i$ có bậc $d_i > 1$, thay các $f_i$ bởi $f_i^2$ trong định nghĩa của L và chú ý rằng khi đó tồn tại các phần tử lũy linh $\neq 0$ trong tâm của $U/L$ và do đó $U/L$ không nửa đơn.)