Exercice 9, § 1

On suppose que K est une $\mathbf{Q}$-algèbre. Soit $g$ une algèbre de Lie admettant une K-base, et soit $U$ sa bigèbre enveloppante, munie de sa filtration canonique $(U_n)_{n \geq 0}$. Soit $x \in U^+$ et soit $n$ un entier $\geq 1$. Montrer que $x$ appartient à $U_n^+$ si et seulement si $c^+(x)$ appartient à $\sum_{\substack{i+j=n \\ i,j \geq 1}} \operatorname{Im}(U_i^+ \otimes U_j^+)$.