Exercice 1, § 2

Soit g une algèbre de Lie libre de famille basique $(x_1, \ldots, x_n, \ldots)$. On note $g_n$ la sous-algèbre de g engendrée par $x_1, \ldots, x_n$, et l’on note $b_n$ le plus petit idéal de $g_n$ contenant $x_n$. a) Montrer que $b_n$ est le sous-module de $g_n$ engendré par les $(\mathrm{ad}(x_{i_1}) \circ \ldots \circ \mathrm{ad}(x_{i_k})) x_n$, avec $k \geqslant 0$ et $i_h \leqslant n$ pour tout h. b) Montrer que $g_n = g_{n-1} \oplus b_n$; en déduire que g est somme directe des $b_n$ pour $n \geqslant 1$. c) Montrer, en utilisant a) et b), que le K-module g est engendré par les éléments $[x_{i_1}, [x_{i_2}, \ldots, [x_{i_{k-1}}, x_{i_k}] \ldots]]$, avec $k \geqslant 0$ et $i_h \leqslant i_k$ pour $h < k$.