Bài tập 1, § 2

Cho $g$ là một đại số Lie tự do với họ cơ bản $(x_1, \ldots, x_n, \ldots)$. Gọi $g_n$ là đại số con của $g$ sinh bởi $x_1, \ldots, x_n$ và gọi $b_n$ là iđêan nhỏ nhất của $g_n$ chứa $x_n$.

(a) Chứng minh rằng $b_n$ là môđun con của $g_n$ sinh bởi

trong đó $k \geqslant 0$ và $i_h \leqslant n$ với mọi $h$.

(b) Chứng minh rằng $g_n = g_{n-1} \oplus b_n$; suy ra rằng $g$ là tổng trực tiếp của các $b_n$ với $n \geqslant 1$.

(c) Chứng minh, sử dụng (a) và (b), rằng K-môđun $g$ được sinh bởi các phần tử $[x_{i_1}, [x_{i_2}, \ldots, [x_{i_{k-1}}, x_{i_k}] \ldots]]$, trong đó $k \geqslant 0$ và $i_h \leqslant i_k$ với $h < k$.